Sei n eine nichtnegative ganze Zahl. Eine Folge l\344sst sich wie im folgenden Beispiel (f\374r a_n=1/n) durch eine Zuordnungsvorschrift definieren:a := n -> 1/n;

NiM+SSJhRzYiZio2I0kibkdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCEiIkYlRiVGJQ==

Den Wert eines speziellen Folgengliedes erhalten wir (z.B. f\374r n=10) durcha(10);

NiMjIiIiIiM1

Seien m und n nichtnegative ganze Zahlen mit m<n. Dann besteht mithilfe der Funktion "seq(folge(n), n=m..k)" die M\366glichkeit eine endliche Anzahl an Folgengliedern auszugeben. F\374r den Funktionsaufruf bestehen zwei M\366glichkeiten. (Bemerke: Damit lassen sich Vermutungen beispielsweise zur Beschr\344nktheit und Monotonie einer Folge aufstellen). Beispiel (f\374r a_n=1/n, m=1, k=10):a := n -> 1/n; seq(a(n), n=1..10); seq(1/n, n=1..10);

NiM+SSJhRzYiZio2I0kibkdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCEiIkYlRiVGJQ==NiwiIiIjRiMiIiMjRiMiIiQjRiMiIiUjRiMiIiYjRiMiIicjRiMiIigjRiMiIikjRiMiIiojRiMiIzU=NiwiIiIjRiMiIiMjRiMiIiQjRiMiIiUjRiMiIiYjRiMiIicjRiMiIigjRiMiIikjRiMiIiojRiMiIzU=

Bemerke: Die ersten 10 Folgenglieder liefern uns die Vermutung, dass die Folge nach oben durch 1 beschr\344nkt und streng monoton fallend ist. Mathematisch bleibt diese Tatsache noch zu beweisen.Aufgaben: Definiere die Folgen a) a_n=(n+1)/n b) a_n=n/(n+1) c) a_n=(3*n^2+13*n)/(n^2-2) und lasse jeweils die ersten 15 Folgenglieder ausgeben.

Der Grenzwert einer Folge l\344sst sich mit der Funktion "limit(folge(n), n=infinity)" berechnen. Beispiel (f\374r a_n=1/n):limit(1/n, n=infinity);

NiMiIiE=

limit(1+(-1)^n/2^n, n=infinity);

NiMiIiI=

F\374r die Grenzwertberechnung einer rekursiven Folge ben\366tigt man die Funktion "rsolve()". Beispiel (f\374r a_n=1/2*(a_{n-1}+2)):rsolve({a(n)=1/2*(a(n-1)+2), a(1)=4}, a); limit(%, n=infinity);

NiMsJikjIiIiIiIjSSJuRzYiIiIlRidGJg==NiMiIiM=

Aufgaben: Bestimme die Grenzwerte der Folgen a) a_n=(n+1)/n b) a_n=n/(n+1) c) a_n=(3*n^2+13*n)/(n^2-2) d) a_n=(1+(1/n))^n

Im Gegensatz zu konvergenten Folgen, bei denen wir genau einen reellen Grenzwert erhalten (C bezeichnet eine reelle Konstante)limit(C, n=infinity); limit(1/n, n=infinity); limit((n+1)/n, n=infinity); limit(n/2^n, n=infinity);

NiNJIkNHNiI=NiMiIiE=NiMiIiI=

NiMiIiE=

erhalten wir bei divergenten Folgen entweder die verschiedenen H\344ufungspunkte oder (insofern die Folge bestimmt bzw. uneigentlich divergiert) unendlich bzw. -unendlich, wie die folgenden Beispiele zeigen:limit((-1)^n, n=infinity); limit(n, n=infinity); limit(-n, n=infinity);

NiM7ISIiIiIiNiNJKWluZmluaXR5R0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiMsJEkpaW5maW5pdHlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiUhIiI=

Aufgaben: Bestimme (insofern vorhanden) die Grenzwerte und H\344ufungspunkte der Folgen a) a_n=(-1)^n/(1+n^2) b) a_n=(3n^2*(n+1)!)/(n(n^2-1)n!) c) a_n=-n*sqrt(n) d) a_n=2^n/n e) a_n=(-1)^n+(1/n) f) a_n=(n+(-1)^n*(2n+1))/n g) a_n=(-1)^n*(2+(3/n)) Bestimme (insofern vorhanden) die Grenzwerte der Folgen h) a_n=(3n+4)/(5n+6) i) a_n=n^2/3^n j) a_n=(3n^2+5n+4)/(2n^2+3) k) a_n=(2n^3)/(2n^2+3)+(1-5n^2)/(5n+1) l) a_n=sqrt(2n+3)-sqrt(2n-1) m) a_n=sqrt(2n+3)-sqrt(n-1) n) a_n=n(root[3](n^2+2)-root[3](n^2+1)) o) a_n=n(1-root[5](1-(1/n)))

Die Graphischen Darstellung von Zahlenfolgen folge(n) erhalten wir mithilfe der Funktion "plot([seq([n,folge(n)], n=m..k)], Eigenschaft1,...,EigenschaftN)", indem wir n gegen die einzelnen Folgenwerte folge(n) plotten (Point plot). Dabei muss die Skala f\374r n fest vorgegeben sein. Es folgt ein Beispiel f\374r eine konvergente Folge (mit a_n=1/n), ein Beispiel f\374r eine nichtbestimmt divergente Folge (mit a_n=(-1)^n) und ein Beispiel f\374r eine bestimmt divergente Folge (mit a_n=n^2) jeweils f\374r m=1 und k=100:plot ([seq ([n,1/n], n = 1..100)], style = point, labels = ["n",""]);

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

plot ([seq ([n,(-1)^n], n = 1..100)], style = point, labels = ["n",""]);

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

plot ([seq ([n,n^2], n = 1..100)], style = point, labels = ["n",""]);

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

Aufgaben: Stelle die ersten 100 Folgenglieder der Folgen a) a_n=1-(1/n) b) a_n=2^n/n c) a_n=(n+(-1)^n*(2*n+1))/n graphisch dar.

Rekursive Folgen: Die Definition rekursiver Folgen veranschaulichen wir am Beispiel der Fibonacci-Folge. Die Elemente dieser Folgen sind die sogenannten Fibonacci-Zahlen. Beachte, dass zun\344chst die rekursive Folge und anschlie\337end die festen ersten zwei Werte definiert werden m\374ssen.Fibonacci := t -> Fibonacci(t-1) + Fibonacci(t-2); Fibonacci(0) := 0; Fibonacci(1) := 1; seq(Fibonacci(n), n=1..10); plot ([seq ([n,Fibonacci(n)], n = 1..30)], style = point, labels = ["n",""]);

NiM+SSpGaWJvbmFjY2lHNiJmKjYjSSJ0R0YlRiU2JEkpb3BlcmF0b3JHRiVJJmFycm93R0YlRiUsJi1GJDYjLCY5JCIiIiEiIkYxRjEtRiQ2IywmRjBGMSEiI0YxRjFGJUYlRiU=NiM+LUkqRmlib25hY2NpRzYiNiMiIiFGKA==NiM+LUkqRmlib25hY2NpRzYiNiMiIiJGKA==NiwiIiJGIyIiIyIiJCIiJiIiKSIjOCIjQCIjTSIjYg==

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

Folgen mit Fallunterscheidungen: Um eine Folge durch Fallunterscheidungen zu definieren, m\374ssen wir die Funktion "piecewise(Bedingung1,Wert1,...,BedingungN,WertN)" verwenden. Im folgenden Beispiel unterscheiden wir zwischen geraden und ungeraden n's. Einen derartigen Test liefert die Funktion "type(expression, valid type expression)":a := n -> piecewise(type(n,even),1/n,type(n,odd),-1/n); seq(a(n), n=1..10); plot ([seq ([n,a(n)], n = 1..100)], style = point, labels = ["n",""]);

NiM+SSJhRzYiZio2I0kibkdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLUkqcGllY2V3aXNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YuNiYtSSV0eXBlR0YuNiQ5JEklZXZlbkdGLiokRjMhIiItRjE2JEYzSSRvZGRHRi4sJEY1RjZGJUYlRiU=NiwhIiIjIiIiIiIjI0YjIiIkI0YlIiIlI0YjIiImI0YlIiInI0YjIiIoI0YlIiIpI0YjIiIqI0YlIiM1

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

Beschr\344nktheit, Minimum/Maximum und Infimum/Supremum einer Folge: Bei der Beschr\344nktheit einer Zahlenfolge unterscheiden wir zwischen oberen Schranken und unteren Schranken. Zur Bestimmung der oberen Schranke (bzw. unteren Schranke) einer Zahlenfolge verwenden wir die Funktion "maximize(folge(n), n=1..infinity)" (bzw. "minimize(folge(n), n=1..infinity)"). Beispiel (f\374r a_n=1/n und a_n=(-1)^n):minimize(1/n, n=1..infinity); maximize(1/n, n=1..infinity); minimize(n, n=1..infinity); maximize(n, n=1..infinity);

NiMiIiE=NiMiIiI=NiMiIiI=NiNJKWluZmluaXR5R0kqcHJvdGVjdGVkR0Yk

Aufgaben: Definiere die rekursive Folge a) a_0=3, a_1=0, a_2=2 und a_n=a_(n-2)+a_(n-3) (Perrin-Folge) Definiere mithilfe von Fallunterscheidungen die Folge b) a_n=1, falls n gerade, a_n=1/n, falls n ungerade Berechne (insofern sie existieren) die obere und untere Schranke der Folge c) a_n=1/(n^2+1) d) a_n=n/(n+1) e) a_n=2^n/n